Si vous débutez en microfluidique, vous vous demandez peut-être comment le débit, la pression et la résistance sont liés. Dans cet article de blog, nous expliquerons la théorie derrière ces concepts afin que vous puissiez mieux comprendre leur impact sur vos conceptions microfluidiques. Restez à l'écoute pour plus de détails !
Une formule fondamentale derrière la (micro)fluidique : équation de Navier-Stokes
Les équations de Navier-Stokes ont été développées sur plusieurs décennies au cours du XIXe siècle par Claude-Louis Navier et George Gabriel Stokes pour décrire le mouvement des fluides tels que l'air, l'eau et les gaz. Elles sont basées sur la Seconde Loi de Newton sur le mouvement, qui stipule que l'accélération d'un objet dépend de la force qui lui est appliquée. Les équations de Navier-Stokes combinent plusieurs forces, y compris celles agissant en raison de la gravité, de l'accélération et de la viscosité du fluide, et peuvent être utilisées pour calculer le débit, la chute de pression et la résistance à travers un canal.
Étant donné que l'équation de Navier-Stokes est très complexe et difficile à résoudre, elle est souvent simplifiée pour une application donnée. Les équations simplifiées représentent un compromis entre précision et complexité. Elles saisissent certaines tendances générales de la dynamique des fluides, tout en étant beaucoup plus faciles à résoudre.
En microfluidique, nous nous référons à l'équation de Navier-Stokes comme sa simplification pour les fluides incompressibles :
\rho\frac{\partial \vec{u}}{\partial t} = -\rho\vec{u}\vec{\nabla}\vec{u} – \vec{\nabla} p + \eta\Delta\vec{u}
avec \eta la viscosité cinématique, \mu la masse volumique.
\rho\vec{u}\vec{\nabla}\vec{u} étant le terme convectif, et \eta\Delta\vec{u} le terme visqueux.
Trouver le lien entre le débit, la chute de pression et la résistance en microfluidique
Afin de simplifier davantage l'équation de Navier-Stokes, nous supposons ce qui suit :
- l'écoulement est laminaire -> le terme convectif peut être négligé
- l'écoulement est établi et stationnaire -> \rho\frac{\partial \vec{u}}{\partial t} = 0
- l'écoulement est unidirectionnel
This leads to the Stokes equation: \vec{\nabla} p = \eta\Delta\vec{u}
Cette équation peut être simplement résolue en utilisant la géométrie du canal microfluidique. Dans un canal circulaire, l'équation finale de Hagen-Poiseuille est \Delta P = \left(\frac{8\eta L}{\pi r^4}\right) Q = R_h Q
R_h est la résistance hydraulique du canal microfluidique, qui peut être calculée à partir de la forme et des dimensions du canal.
Résistance hydraulique dans diverses formes de canal
Le tableau suivant présente un résumé de la résistance hydraulique dans diverses formes de canal. Ces formules résultent de simplifications et ne sont valables que dans le cas de :
- Écoulement stable, unidirectionnel et laminaire
- Fluides incompressibles
| Circulaire | Deux plaques | Carré | Rectangulaire | |
|---|---|---|---|---|
| Paramètres | a est le rayon | h is the height w is the width h << w | h est la hauteur w est la largeur h = w | h is the height w is the width 0.2 < h/w < 1 |
| Résistance hydraulique \mathbf{R_h} | \frac{8\eta L}{\pi a^4} | \frac{12\eta L}{h^3 w} | \frac{28.4\eta L}{h^4} | \frac{12\eta L}{1-0.63 h^4} |
Analogie électrique/fluidique
L'analogie électrique/fluidique est un outil pratique pour mieux comprendre le comportement des fluides dans un système microfluidique. En effet, vous avez peut-être trouvé une ressemblance entre l'équation de Hagen-Poiseuille et la loi d'Ohm :
Équation de Hagen-Poiseuille : \Delta P = R_h Q, où \Delta P est la chute de pression, Q le débit, et R_h la résistance hydraulique.
Loi d'Ohm : U=R I, avec U la tension, I le courant et R la résistance électrique.
Par conséquent, nous pouvons considérer R_h comme la résistance électrique équivalente, la pression comme la tension, et le débit comme le courant.
Mais l'analogie ne s'arrête pas là : l'analyse par maillage et nœuds s'applique également aux systèmes microfluidiques !
| Électrique | Fluidique | |
|---|---|---|
| Parallèle |
|
|
| Série |
|
|
Comment mesurer le débit, la pression et la résistance ?
Maintenant que vous comprenez ces concepts, examinons quelques méthodes et dispositifs courants utilisés pour mesurer le débit, la pression et la résistance dans les systèmes microfluidiques.
Les capteurs de débit sont couramment utilisés pour mesurer directement le débit volumétrique d'un fluide. Les exemples incluent les capteurs de débit massique Coriolis ou les capteurs de débit thermique. Les capteurs de pression sont utilisés pour mesurer les différences de pression entre deux points d'un système microfluidique. Les exemples courants incluent le transducteur piézoélectrique et les capteurs de pression à diaphragme à capacité variable. Les capteurs de pression peuvent être relatifs (pression donnée par rapport à la pression ambiante) ou absolus (pression donnée par rapport à 0 bar).
Enfin, la résistance hydraulique ne peut pas être mesurée directement, mais par sa relation avec le débit et la chute de pression. Cela se fait généralement en fixant le débit et en mesurant la pression à différents points de votre système. Les données peuvent ensuite être utilisées pour calculer la résistance hydraulique selon l'équation de Hagen-Poiseuille : Rh = (P2-P1)/Q.
C'est également un bon moyen de vérifier si la résistance hydraulique théorique est proche de la résistance observée dans votre expérience afin d'appliquer l'analogie électrique/fluidique à votre système.
Conclusion
Dans cet article, nous avons abordé les bases du débit, de la chute de pression et de la résistance hydraulique en microfluidique. Nous avons vu comment utiliser l'équation de Navier-Stokes pour calculer ces paramètres, ainsi que l'analogie électrique/fluidique pour mieux comprendre le comportement des fluides dans un système microfluidique. Enfin, nous avons examiné les dispositifs courants utilisés pour mesurer ces paramètres et comment les utiliser pour calculer la résistance hydraulique.
