Wenn Sie sich noch nicht mit Mikrofluidik auskennen, fragen Sie sich vielleicht, in welchem Zusammenhang Durchflussrate, Druck und Widerstand zueinander stehen. In diesem Blogbeitrag erläutern wir die theoretischen Grundlagen dieser Konzepte, damit Sie besser verstehen, wie sie sich auf Ihre mikrofluidischen Entwürfe auswirken. Seien Sie gespannt auf weitere Details!
Eine grundlegende Formel der (Mikro-)Fluidik: die Navier-Stokes-Gleichung
Die Navier-Stokes-Gleichungen wurden im Laufe mehrerer Jahrzehnte im 19. Jahrhundert von Claude-Louis Navier und George Gabriel Stokes entwickelt, um die Bewegung von Flüssigkeiten wie Luft, Wasser und Gasen zu beschreiben. Sie basieren auf dem zweiten Newtonschen Bewegungsgesetz, das besagt, dass die Beschleunigung eines Objekts von der auf es einwirkenden Kraft abhängt. Die Navier-Stokes-Gleichungen berücksichtigen verschiedene Kräfte, darunter die durch die Schwerkraft, die Beschleunigung und die Viskosität der Flüssigkeit wirkenden Kräfte, und können zur Berechnung der Durchflussmenge, des Druckabfalls und des Widerstands in einem Kanal verwendet werden.
Da die Navier-Stokes-Gleichung äußerst komplex und schwer zu lösen ist, wird sie für eine bestimmte Anwendung häufig vereinfacht. Die vereinfachten Gleichungen stellen einen Kompromiss zwischen Genauigkeit und Komplexität dar. Sie erfassen einige allgemeine Tendenzen der Strömungsdynamik, sind jedoch wesentlich einfacher zu lösen.
In der Mikrofluidik bezeichnen wir die Navier-Stokes-Gleichung als deren vereinfachte Form für inkompressible Flüssigkeiten:
\rho\frac{\partial \vec{u}}{\partial t} = -\rho\vec{u}\vec{\nabla}\vec{u} – \vec{\nabla} p + \eta\Delta\vec{u}
wobei \eta die kinematische Viskosität und \mu die Volumendichte ist.
Dabei ist \rho\vec{u}\vec{\nabla}\vec{u} der konvektive Term und \eta\Delta\vec{u} der viskose Term.
Ermittlung des Zusammenhangs zwischen Durchflussrate, Druckabfall und Widerstand in der Mikrofluidik
Um die Navier-Stokes-Gleichung noch weiter zu vereinfachen, nehmen wir Folgendes an:
- Die Strömung ist laminar -> der Konvektionsterm kann vernachlässigt werden
- Die Strömung ist stationär und gleichmäßig -> \rho\frac{\partial \vec{u}}{\partial t} = 0
- Der Durchfluss erfolgt in eine Richtung.
This leads to the Stokes equation: \vec{\nabla} p = \eta\Delta\vec{u}
Diese Gleichung lässt sich anhand der Geometrie des mikrofluidischen Kanals leicht lösen. In einem kreisförmigen Kanal lautet die endgültige Hagen-Poiseuille-Gleichung : \Delta P = \left(\frac{8\eta L}{\pi r^4}\right) Q = R_h Q
R_h ist der hydraulische Widerstand des mikrofluidischen Kanals, der sich aus der Kanalform und den Abmessungen berechnen lässt.
Hydraulischer Widerstand bei verschiedenen Kanalformen
Die folgende Tabelle gibt einen Überblick über den hydraulischen Widerstand bei verschiedenen Kanalformen. Diese Formeln sind das Ergebnis von Vereinfachungen und gelten nur für folgende Fälle:
- Gleichmäßige, unidirektionale und laminare Strömung
- Inkompressible Flüssigkeiten
| Rundschreiben | Zwei Teller | Quadrat | Rechteckig | |
|---|---|---|---|---|
| Parameter | a ist der Radius | h is the height w is the width h << w | h ist die Höhe, w ist die Breite, h = w | h is the height w is the width 0.2 < h/w < 1 |
| Hydraulischer Widerstand \mathbf{R_h} | \frac{8\eta L}{\pi a^4} | \frac{12\eta L}{h^3 w} | \frac{28,4\eta L}{h^4} | \frac{12\eta L}{1-0,63 h^4} |
Analogie zwischen Elektrotechnik und Fluidtechnik
Die Analogie zwischen Elektrizität und Strömung ist ein nützliches Hilfsmittel, um das Verhalten von Flüssigkeiten in einem mikrofluidischen System besser zu verstehen. Vielleicht ist Ihnen ja bereits eine Ähnlichkeit zwischen der Hagen-Poiseuille-Gleichung und dem Ohmschen Gesetz aufgefallen:
Hagen-Poiseuille-Gleichung: \Delta P = R_h Q, wobei \Delta P der Druckabfall, Q der Durchfluss und R_h der hydraulische Widerstand ist.
Ohmsches Gesetz: U = R I, wobei U die Spannung, I der Strom und R der elektrische Widerstand ist.
Daher können wir R_h als den äquivalenten elektrischen Widerstand, den Druck als Spannung und die Durchflussmenge als Strom betrachten.
Doch damit ist die Analogie noch nicht zu Ende: Die Netz- und Knotenanalyse lässt sich auch auf mikrofluidische Systeme anwenden!
| Elektrik | Fluidisch | |
|---|---|---|
| Parallel |
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| Serie |
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Wie misst man Durchfluss, Druck und Widerstand?
Nachdem Sie nun die Grundlagen verstanden haben, wollen wir uns einige gängige Methoden und Geräte ansehen, die zur Messung von Durchfluss, Druck und Widerstand in mikrofluidischen Systemen verwendet werden.
Durchflusssensoren werden häufig zur direkten Messung des Volumenstroms einer Flüssigkeit eingesetzt. Beispiele hierfür sind Coriolis-Massendurchflusssensoren oder thermische Durchflusssensoren. Drucksensoren dienen zur Messung von Druckunterschieden zwischen zwei Punkten in einem mikrofluidischen System. Zu den gängigen Beispielen zählen piezoelektrische Wandler und Drucksensoren auf Basis von Membranen mit variabler Kapazität. Die Drucksensoren können entweder relative Werte (Druck im Verhältnis zum Umgebungsdruck) oder absolute Werte (Druck im Verhältnis zu 0 bar) angeben.
Schließlich lässt sich der hydraulische Widerstand nicht direkt messen, sondern nur über seinen Zusammenhang mit dem Durchfluss und dem Druckabfall. Dies geschieht in der Regel, indem man den Durchfluss festlegt und den Druck an verschiedenen Stellen des Systems misst. Anhand dieser Daten lässt sich dann der hydraulische Widerstand gemäß der Hagen-Poiseuille-Gleichung berechnen: Rh = (P2 – P1) / Q.
Dies ist auch eine gute Möglichkeit, um zu prüfen, ob der theoretische hydraulische Widerstand dem Widerstand in Ihrem Experiment nahekommt, damit Sie die elektrisch-fluidische Analogie auf Ihr System anwenden können.
Fazit
In diesem Artikel haben wir die Grundlagen von Durchflussrate, Druckabfall und hydraulischem Widerstand in der Mikrofluidik erörtert. Wir haben gesehen, wie man diese Parameter mithilfe der Navier-Stokes-Gleichung berechnet, und uns mit der elektrisch-fluidischen Analogie befasst, um das Verhalten von Flüssigkeiten in einem mikrofluidischen System besser zu verstehen. Abschließend haben wir uns gängige Messgeräte zur Bestimmung dieser Parameter angesehen und erläutert, wie man sie zur Berechnung des hydraulischen Widerstands einsetzt.
