Wenn Sie neu in der Mikrofluidik sind, fragen Sie sich möglicherweise, wie Flussrate, Druck und Widerstand zusammenhängen. In diesem Blogbeitrag erläutern wir die Theorie hinter diesen Konzepten, damit Sie besser verstehen, wie sie sich auf Ihre mikrofluidischen Designs auswirken. Bleiben Sie dran für weitere Details!
Eine fundamentale Formel der (Mikro-)Fluidik: Die Navier-Stokes-Gleichung
Die Navier-Stokes-Gleichungen wurden im Laufe des 19. Jahrhunderts über mehrere Jahrzehnte hinweg von Claude-Louis Navier und George Gabriel Stokes entwickelt, um die Bewegung von Fluiden wie Luft, Wasser und Gasen zu beschreiben. Sie basieren auf dem zweiten Newtonschen Axiom, dem zufolge die Beschleunigung eines Objekts von der auf es wirkenden Kraft abhängt. Die Navier-Stokes-Gleichungen fassen verschiedene Kräfte zusammen, darunter solche, die durch die Schwerkraft, die Beschleunigung und die Viskosität des Fluids wirken, und können zur Berechnung von Flussrate, Druckabfall und Widerstand über einen Kanal verwendet werden.
Da die Navier-Stokes-Gleichung äußerst komplex und schwer zu lösen ist, wird sie für eine gegebene Anwendung häufig vereinfacht. Die vereinfachten Gleichungen stellen einen Kompromiss zwischen Genauigkeit und Komplexität dar. Sie erfassen einige allgemeine Trends der Fluiddynamik, sind jedoch wesentlich einfacher zu lösen.
In der Mikrofluidik beziehen wir uns bei der Navier-Stokes-Gleichung auf deren Vereinfachung für inkompressible Fluide:
\rho\frac{\partial \vec{u}}{\partial t} = -\rho\vec{u}\vec{\nabla}\vec{u} – \vec{\nabla} p + \eta\Delta\vec{u}
wobei \eta die kinematische Viskosität und \mu die Volumendichte ist.
Dabei ist \rho\vec{u}\vec{\nabla}\vec{u} der konvektive Term und \eta\Delta\vec{u} der viskose Term.
Ermittlung des Zusammenhangs zwischen Flussrate, Druckabfall und Widerstand in der Mikrofluidik
Um die Navier-Stokes-Gleichung weiter zu vereinfachen, gehen wir von folgenden Annahmen aus:
- Die Strömung ist laminar -> der konvektive Term kann vernachlässigt werden.
- Die Strömung ist ausgebildet und stationär -> \rho\frac{\partial \vec{u}}{\partial t} = 0
- Die Strömung ist eindimensional.
This leads to the Stokes equation: \vec{\nabla} p = \eta\Delta\vec{u}
Diese Gleichung lässt sich einfach unter Verwendung der Geometrie des mikrofluidischen Kanals lösen. In einem kreisförmigen Kanal lautet die finale Hagen-Poiseuille-Gleichung \Delta P = \left(\frac{8\eta L}{\pi r^4}\right) Q = R_h Q
R_h ist der hydraulische Widerstand des mikrofluidischen Kanals, der sich aus der Form und den Abmessungen des Kanals berechnen lässt.
Hydraulischer Widerstand in verschiedenen Kanalgeometrien
Die folgende Tabelle gibt eine Übersicht über den hydraulischen Widerstand in verschiedenen Kanalgeometrien. Diese Formeln resultieren aus Vereinfachungen und sind nur gültig im Falle von:
- Konstante, unidirektionale und laminares Strömung
- Inkompressible Fluide
| Kreisförmig | Zwei Platten | Quadratisch | Rechteckig | |
|---|---|---|---|---|
| Parameter | a ist der Radius | h is the height w is the width h << w | h ist die Höhe w ist die Breite h = w | h is the height w is the width 0.2 < h/w < 1 |
| Hydraulischer Widerstand \mathbf{R_h} | \frac{8\eta L}{\pi a^4} | \frac{12\eta L}{h^3 w} | \frac{28.4\eta L}{h^4} | \frac{12\eta L}{1-0.63 h^4} |
Elektrisch-fluidische Analogie
Die elektrisch-fluidische Analogie ist ein nützliches Werkzeug, um das Verhalten von Fluiden in einem mikrofluidischen System besser zu verstehen. Tatsächlich werden Sie Ähnlichkeiten zwischen dem Hagen-Poiseuille-Gesetz und dem Ohmschen Gesetz feststellen:
Hagen-Poiseuille-Gleichung: \Delta P = R_h Q, wobei \Delta P der Druckabfall, Q die Flussrate und R_h der hydraulische Widerstand ist.
Ohmsches Gesetz: U=R I, wobei U die Spannung, I der Strom und R der elektrische Widerstand ist.
Folglich können wir R_h als äquivalenten elektrischen Widerstand, den Druck als Spannung und die Flussrate als Strom betrachten.
Doch die Analogie hört hier noch nicht auf: Auch die Maschen- und Knotenanalyse lässt sich auf mikrofluidische Systeme anwenden!
| Elektrisch | Fluidisch | |
|---|---|---|
| Parallel |
|
|
| Reihe |
|
|
Wie lassen sich Durchflussrate, Druck und Widerstand messen?
Nachdem Sie nun mit diesen Konzepten vertraut sind, werfen wir einen Blick auf einige gängige Methoden und Geräte zur Messung von Durchflussrate, Druck und Widerstand in mikrofluidischen Systemen.
Durchflusssensoren werden üblicherweise zur direkten Messung der volumetrischen Durchflussrate eines Fluids eingesetzt. Beispiele hierfür sind Coriolis-Massendurchflusssensoren oder thermische Durchflusssensoren. Drucksensoren dienen der Messung von Druckdifferenzen zwischen zwei Punkten in einem mikrofluidischen System. Gängige Beispiele sind piezoelektrische Wandler und kapazitive Membrandrucksensoren. Diese Drucksensoren können entweder relativ (Druck bezogen auf den Umgebungsdruck) oder absolut (Druck bezogen auf 0 bar) messen.
Der hydraulische Widerstand lässt sich schließlich nicht direkt messen, sondern über seinen Zusammenhang mit der Durchflussrate und dem Druckabfall bestimmen. Dies geschieht in der Regel, indem man die Durchflussrate vorgibt und den Druck an verschiedenen Punkten des Systems misst. Anhand dieser Daten lässt sich der hydraulische Widerstand mithilfe der Hagen-Poiseuille-Gleichung berechnen: $R_h = (P_2-P_1)/Q$.
Dies ist auch eine gute Methode, um zu überprüfen, ob der theoretische hydraulische Widerstand nahe am experimentellen Widerstand liegt, um die elektrisch-fluidische Analogie auf Ihr System anzuwenden.
Fazit
In diesem Artikel haben wir die Grundlagen der Durchflussrate, des Druckabfalls und des hydraulischen Widerstands in der Mikrofluidik erörtert. Wir haben gesehen, wie sich diese Parameter mithilfe der Navier-Stokes-Gleichungen berechnen lassen und wie die elektrisch-fluidische Analogie zum besseren Verständnis des Fluidverhaltens in einem mikrofluidischen System beiträgt. Schließlich haben wir gängige Messgeräte für diese Parameter betrachtet und gezeigt, wie diese zur Berechnung des hydraulischen Widerstands eingesetzt werden.
