Se sei alle prime armi con la microfluidica, forse ti starai chiedendo quale sia il rapporto tra portata, pressione e resistenza. In questo articolo del blog spiegheremo la teoria alla base di questi concetti, in modo che tu possa comprendere meglio come influenzano i tuoi progetti microfluidici. Continua a seguirci per ulteriori dettagli!
Una formula fondamentale alla base della (micro)fluidica: l'equazione di Navier-Stokes
Le equazioni di Navier-Stokes furono elaborate nel corso di diversi decenni del XIX secolo da Claude-Louis Navier e George Gabriel Stokes per descrivere il moto dei fluidi quali l’aria, l’acqua e i gas. Si basano sulla seconda legge del moto di Newton, secondo la quale l’accelerazione di un oggetto dipende dalla forza che agisce su di esso. Le equazioni di Navier-Stokes combinano diverse forze, tra cui quelle dovute alla gravità, all’accelerazione e alla viscosità del fluido, e possono essere utilizzate per calcolare la portata, la caduta di pressione e la resistenza in un canale.
Poiché l'equazione di Navier-Stokes è estremamente complessa e difficile da risolvere, spesso viene semplificata in base alla specifica applicazione. Le equazioni semplificate rappresentano un compromesso tra accuratezza e complessità. Esse descrivono alcune tendenze generali della fluidodinamica, pur essendo molto più facili da risolvere.
Nella microfluidica, l'equazione di Navier-Stokes è intesa come la sua semplificazione per i fluidi incomprimibili:
\rho\frac{\partial \vec{u}}{\partial t} = -\rho\vec{u}\vec{\nabla}\vec{u} – \vec{\nabla} p + \eta\Delta\vec{u}
dove \eta è la viscosità cinematica e \mu la massa volumetrica.
dove \rho\vec{u}\vec{\nabla}\vec{u} è il termine convettivo e \eta\Delta\vec{u} è il termine viscoso.
Individuare la relazione tra portata, perdita di carico e resistenza nella microfluidica
Per semplificare ulteriormente l'equazione di Navier-Stokes, ipotizziamo quanto segue:
- il flusso è laminare -> il termine convettivo può essere trascurato
- il flusso è stabilizzato e costante -> \rho\frac{\partial \vec{u}}{\partial t} = 0
- il flusso è unidirezionale
This leads to the Stokes equation: \vec{\nabla} p = \eta\Delta\vec{u}
Questa equazione può essere risolta facilmente ricorrendo alla geometria del canale microfluidico. In un canale circolare, l'equazione di Hagen-Poiseuille finale è \Delta P = \left(\frac{8\eta L}{\pi r^4}\right) Q = R_h Q
R_h è la resistenza idraulica del canale microfluidico, che può essere calcolata in base alla forma e alle dimensioni del canale.
Resistenza idraulica in canali di diverse forme
La tabella seguente riporta una sintesi della resistenza idraulica in diverse forme di canale. Queste formule derivano da semplificazioni e sono valide solo nel caso in cui:
| Circolare | Due piatti | Quadrato | Rettangolare | |
|---|---|---|---|---|
| Parametri | a è il raggio | h is the height w is the width h << w | h è l'altezza, w è la larghezza; h = w | h is the height w is the width 0.2 < h/w < 1 |
| Resistenza idraulica \mathbf{R_h} | \frac{8\eta L}{\pi a^4} | \frac{12\eta L}{h^3 w} | \frac{28,4\eta L}{h^4} | \frac{12\eta L}{1-0,63 h^4} |
Analogia elettrica/fluidica
L'analogia tra elettricità e fluidodinamica è uno strumento utile per comprendere meglio il comportamento dei fluidi in un sistema microfluidico. Infatti, potreste aver notato una somiglianza tra l'equazione di Hagen-Poiseuille e la legge di Ohm:
Equazione di Hagen-Poiseuille: \Delta P = R_h Q, dove \Delta P è la caduta di pressione, Q è la portata e R_h è la resistenza idraulica.
Legge di Ohm: U = R I, dove U è la tensione, I è la corrente e R è la resistenza elettrica.
Pertanto, possiamo considerare R_h come la resistenza elettrica equivalente, la pressione come la tensione e la portata come la corrente.
Ma l'analogia non si ferma qui: l'analisi delle maglie e dei nodi si applica anche ai sistemi microfluidici!
| Elettricità | Fluidico | |
|---|---|---|
| Parallelo |
|
|
| Serie |
|
|
Come si misurano la portata, la pressione e la resistenza?
Ora che avete compreso i concetti, diamo un’occhiata ad alcuni metodi e dispositivi comunemente utilizzati per misurare la portata, la pressione e la resistenza nei sistemi microfluidici.
I sensori di flusso sono comunemente utilizzati per misurare direttamente la portata volumetrica di un fluido. Ne sono un esempio i sensori di flusso massico a effetto Coriolis o i sensori di flusso termici. I sensori di pressione vengono utilizzati per misurare le differenze di pressione tra due punti in un sistema microfluidico. Esempi comuni includono il trasduttore piezoelettrico e i sensori di pressione a diaframma a capacità variabile. I sensori di pressione possono essere relativi (pressione espressa rispetto alla pressione ambientale) o assoluti (pressione espressa rispetto a 0 bar).
Infine, la resistenza idraulica non può essere misurata direttamente, ma solo attraverso la sua relazione con la portata e la caduta di pressione. Ciò avviene solitamente fissando la portata e misurando la pressione in diversi punti dell'impianto. I dati ottenuti possono quindi essere utilizzati per calcolare la resistenza idraulica secondo l'equazione di Hagen-Poiseuille: Rh = (P2-P1)/Q.
Questo è anche un buon modo per verificare se la resistenza idraulica teorica è vicina a quella riscontrata nel tuo esperimento, in modo da poter applicare l'analogia elettrico-fluidica al tuo sistema.
Conclusione
In questo articolo abbiamo illustrato i concetti fondamentali relativi alla portata, alla perdita di carico e alla resistenza idraulica nella microfluidica. Abbiamo visto come utilizzare l’equazione di Navier-Stokes per calcolare questi parametri, nonché l’analogia elettrico-fluidica per comprendere meglio il comportamento dei fluidi in un sistema microfluidico. Infine, abbiamo esaminato i dispositivi comunemente utilizzati per misurare questi parametri e come impiegarli per calcolare la resistenza idraulica.
